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公開日:2021年2月26日
最終更新日:2021年2月28日

はじめに

受験生の皆さん,お疲れ様です。
この記事では,2021(令和3)年前期東大理系数学の第4問の解答例を示します。

問題

問題を次に示します。

第4問

以下の問いに答えよ。

(1)

正の奇数 \(K,\) \(L\) と正の整数 \(A,\) \(B\) が \(KA = LB\) を満たしているとする。\(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいならば,\(A\) を \(4\) で割った余りは \(B\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ。

(2)

正の整数 \(a,\) \(b\) が \(a > b\) を満たしているとする。このとき,\(A = \cmb{4a+1}{4b+1},\) \(B = \cmb{a}{b}\)に対して \(KA = LB\) となるような正の奇数 \(K,\) \(L\) が存在することを示せ。

(3)

\(a,\) \(b\) は (2) の通りとし,さらに \(a – b\) が \(2\) で割り切れるとする。\(\cmb{4a+1}{4b+1}\) を \(4\) で割った余りは \(\cmb{a}{b}\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ。

(4)

\(\cmb{2021}{37}\) を \(4\) で割った余りを求めよ。

解答例

解答例を次に示します。きれいとは言えない解答ですが,試験場でも思いつく解き方だと思います。ただし,まったく時間が足りないので (1), (4) を解いて他に解けるところを探しに行ったほうがよいと思います。
解答に合同式を使用します。馴染みのない方はぜひ「RSA暗号の数学 その1 合同式」を読んでみてください。

第4問の解答例

(1)

\(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいとき,\(K,\) \(L\) は奇数だから,その余り \(\alpha\) は \(1\) または \(3\) である。したがって,$$K \equiv L \equiv \alpha \pmod{4}$$が成り立つ。\(KA = LB\) が成り立つとき,$$\begin{align}KA – LB &\equiv \alpha A – \alpha B \\ &\equiv \alpha(A – B) \\ &\equiv 0 \pmod 4\end{align}$$となる。\(\alpha\) と \(4\) は互いに素だから,\(A – B \equiv 0 \pmod 4\) が成り立つ。よって,\(KA = LB\) ならば,\(A \equiv B \pmod 4\) となる。

(2)

\(b\) を動かし,帰納的に示す。\(b = 1\) のとき,$$\begin{align}A &= \cmb{4a+1}{5} \\ &= \frac{(4a + 1)(4a)(4a – 1)(4a – 2)(4a – 3)}{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= \frac{8(4a + 1)(4a – 1)(2a – 1)(4a – 3)}{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\cdot \cmb{a}{1} \\ &= \frac{(4a + 1)(4a – 1)(2a – 1)(4a – 3)}{5\cdot 3}\cdot \cmb{a}{1}\end{align}$$となる。\(K = 3\cdot5\), \(L = (4a + 1)(4a-1)(2a-1)(4a-3)\) とすれば,題意は成り立つ。正の整数 \(b < a - 1\) に対して正の奇数 \(K,\) \(L\) が存在し,題意が成り立つ仮定すると,$$\begin{align}\cmb{4a + 1}{4(b+1) + 1} &= \cmb{4a+1}{4b+5} \\ &= \frac{(4a+1)!}{(4a-4b-4)!(4b+5)!} \\ &= \frac{(4a-4b)(4a-4b-1)(4a-4b-2)(4a-4b-3)}{(4b+5)(4b+4)(4b+3)(4b+2)}\cmb{4a+1}{4b+1} \\ &= \frac{(4a-4b)(4a-4b-1)(4a-4b-2)(4a-4b-3)}{(4b+5)(4b+4)(4b+3)(4b+2)}\cdot\frac{L}{K}\cmb{a}{b}\end{align}$$となる。最右辺を \(R\) とおくと,$$\cmb{a}{b} = \frac{b+1}{a-b}\cmb{a}{b+1}$$より,$$\begin{align}R &= \frac{(4a-4b-1)(2a-2b-1)(4a-4b-3)}{(4a+5)(4b+3)(2b+1)}\frac{L}{K}\cmb{a}{b+1}\end{align}$$となる。したがって,$$\begin{align}K' &= (4b+5)(4b+3)(2b+1)K, \\ L' &=(4a-4b-1)(2a-2b-1)(4a-4b-3)L\end{align}$$はともに奇数となり,\(K'\cmb{4a+1}{4b+5}=L'\cmb{a}{b+1}\)となる。よって,題意は示された。

(3)

ある \(b\) に対して,正の整数 \(\beta_b\) を用いて \(a – b = 2\beta_b\) と表わせるとする。(2) より,正の奇数 \(K_b,\) \(L_b\) を用いて$$K_bA\equiv L_bB\pmod 4$$と書けるから,(1)より,$$K_b \equiv L_b \equiv \alpha \pmod 4$$であることを示せればよい。ただし,\(\alpha \equiv 1, 3 \pmod 4\) である。(2) と同様に帰納的に示す。
\(b = 1\) のとき,$$\begin{align}K_1 &\equiv 3\cdot 5 \\ &\equiv 3 \cdot 1 \\ &\equiv 3 \pmod{4}, \\ L_1 &\equiv (4a + 1)(4a-1)(2a-1)(4a-3) \\ &\equiv 1\cdot 3\cdot (\pm 1) \cdot 1 \\ &\equiv \begin{cases} 3 \pmod{4} & (a – 1 = 2\beta_1) \\ 1 \pmod{4} & (\text{それ以外})\end{cases}\end{align}$$より,\(a – 1 = 2\beta_1\) のとき,\(K_1 \equiv L_1 \equiv 3 \pmod 4\) となる。
\(b = 2\) のとき,$$\begin{align}K_2 &\equiv 9\cdot 7 \cdot 3 \cdot K_1 \\ &\equiv 1\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \\ &\equiv 3 \pmod 4, \\ L_2 &\equiv (4a-5)(2a-3)(4a-7)L_1 \\ &\equiv 3\cdot(\pm 1)\cdot 1\cdot L_1\\ &\equiv \begin{cases} 3 \pmod 4 & (a – 2 = 2\beta_2) \\ 1 \pmod 4 & (\text{それ以外})\end{cases}\end{align}$$となる。したがって,\(a – 2 = 2\beta_2\) のときも \(K_2 \equiv L_2 \equiv 3 \pmod 4\) となる。
\(b = 3\) のときも同様にして,$$\begin{align}K_3 &\equiv 1 \pmod 4, \\ L_3 &\equiv \begin{cases} 1 \pmod 4 & (a – 3 = 2\beta_3) \\ 3 \pmod 4 & (\text{それ以外})\end{cases}\end{align}$$となる。したがって,\(a – 3 = 2\beta_3\) のとき \(K_3\equiv L_3 \equiv 1 \pmod 4\) となる。
いま,\(2\) 以上の整数 \(b < a - 1\) に対して \(a - (b-1) = 2\beta_{b-1}\) となるとき,$$\begin{align}K_{b-1} \equiv L_{b-1} &\equiv \gamma_{b-1} \pmod 4\\ K_b &\equiv -\delta_b \pmod 4 \\ L_b &\equiv \delta_b \pmod 4\end{align}$$が成り立つと仮定する。ただし,\(\gamma_{b-1} \equiv \pm 1 \pmod 4,\) \(\delta_b \equiv \pm 1 \pmod 4\)である。このとき,\(a - (b + 1) = 2\beta_{b+1}\) となる正の整数 \(\beta_{b+1}\) が存在する。(2) より,$$\begin{align}K_{b+1} &\equiv (4b+5)(4b+3)(2b+1)K_b \\ &\equiv 1\cdot 3 \cdot (\pm 1) \cdot (-\delta) \\&\equiv\begin{cases}-\delta_b \pmod 4 & (b: \text{奇数}) \\ \delta_b & (b: \text{偶数})\end{cases}\\ L_{b+1} &\equiv (4a-4b-1)(2a-2b-1)(4a-4b-3)L_b \\ &\equiv 3\cdot (\pm 1) \cdot 1 \cdot \delta \\&\equiv\begin{cases}-\delta_b \pmod 4 & (b: \text{奇数}) \\ \delta_b & (b: \text{偶数})\end{cases}\end{align}$$となる。したがって,\(K_{b+1} \equiv L_{b+1} \equiv \pm\delta_b\pmod 4\) がいえる。
よって,(1) より,題意は示された。

(4)

上述の議論により,$$\begin{align}\cmb{2021}{37} &\equiv \cmb{4\cdot 505+1}{4\cdot 9+1} \\ &\equiv \cmb{505}{9} \\ &\equiv \cmb{4\cdot 126+1}{4\cdot 2+1} \\ &\equiv \cmb{126}{2} \\ &\equiv 63\cdot 125 \\ &\equiv 3\cdot 1 \\ &\equiv 3\pmod 4\end{align}$$となる。ここで、$$\begin{align}505 – 9 &\equiv 0 \pmod 2,\\ 126 – 2 &\equiv 0 \pmod 2\end{align}$$である。

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ャに
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